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一、教學(xué)目標(biāo),全國(guó)公務(wù)員共同天地
1.使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握平行線分線段成比例定理及其推論,并會(huì)靈活應(yīng)用.
2.使學(xué)生掌握三角形一邊平行線的判定定理.
3.已知線的成已知比的作圖問(wèn)題.
4.通過(guò)應(yīng)用,培養(yǎng)識(shí)圖能力和推理論證能力.
5.通過(guò)定理的教學(xué),進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生類比的數(shù)學(xué)思想.
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
觀察、猜想、歸納、講解
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)
l.教學(xué)重點(diǎn):是平行線分線段成比例定理和推論及其應(yīng)用.
2.教學(xué)難點(diǎn):是平行線分線段成比例定理的正確性的說(shuō)明及推論應(yīng)用.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、常用畫(huà)圖工具.
六、教學(xué)步驟
【復(fù)習(xí)提問(wèn)】
敘述平行線分線段成比例定理(要求:結(jié)合圖形,做出六個(gè)比例式).
【講解新課】
在黑板上畫(huà)出圖,觀察其特點(diǎn):與的交點(diǎn)A在直線上,根據(jù)平行線分線段成比例定理有:……(六個(gè)比例式)然后把圖中有關(guān)線擦掉,剩下如圖所示,這樣即可得到:
平行于的邊BC的直線DE截AB、AC,所得對(duì)應(yīng)線段成比例.
在黑板上畫(huà)出左圖,觀察其特點(diǎn):與的交點(diǎn)A在直線上,同樣可得出:(六個(gè)比例式),然后擦掉圖中有關(guān)線,得到右圖,這樣即可證到:,全國(guó)公務(wù)員共同天地
平行于的邊BC的直線DE截邊BA、CA的延長(zhǎng)線,所以對(duì)應(yīng)線段成比例.
綜上所述,可以得到:
推論:(三角形一邊平行線的性質(zhì)定理)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
如圖,(六個(gè)比例式).
此推論是判定三角形相似的基礎(chǔ).
注:關(guān)于推論中“或兩邊的延長(zhǎng)線”,是指三角形兩邊在第三邊同一側(cè)的延長(zhǎng)線,如果已知,DE是截線,這個(gè)推論包含了下圖的各種情況.
這個(gè)推論不包含下圖的情況.
后者,教學(xué)中如學(xué)生不提起,可不必向?qū)W生交待.(考慮改用投影儀或小黑板)
例3已知:如圖,,求:AE.
教材上采用了先求CE再求AE的方法,建議在列比例式時(shí),把CE寫(xiě)成比例第一項(xiàng),即:.
讓學(xué)生思考,是否可直接未出AE(找學(xué)生板演).
【小結(jié)】
1.知道推論的探索方法.
2.重點(diǎn)是推論的正確運(yùn)用
七、布置作業(yè)
一、造相似三角形法
若要證角相等或線段成比例,通常利用相似三角形.如果沒(méi)有現(xiàn)成的相似三角形,就需要作輔助線來(lái)創(chuàng)造.在構(gòu)造三角形時(shí),常常是按比例式選定三角形,然后從圖形看形狀是否相似,再作平行線,或者利用平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相截,截得的三角形和原三角形相似,或者利用一個(gè)等角條件,再造一個(gè)等角條件而得到相似三角形.
例1 如圖1,從ABC各頂點(diǎn)向?qū)吽娜€段AD、BE、CF相交于形內(nèi)一點(diǎn)P,則PDAD+PEBE+PFCF=1.
圖1分析:結(jié)論左邊是三個(gè)比例的和,右邊是常數(shù)1.這里既沒(méi)有相似三角形,又沒(méi)有其他比例線段定理的條件,因此需要構(gòu)造相似三角形.過(guò)點(diǎn)P引AC的平行線交AB于G,交BC于H,這就造成了五對(duì)相似三角形.從DPH∽DACPDAD=PHAC,以FPG∽FCAPFCF=PGAC兩式相加,得PDAD+PFCF=PHAC+PGAC=HGAC.又由BHG∽BCA,BHP∽BCE,得HGAC=BHBC=BPBE.通過(guò)代換得PDAD+PFCF=BPBE,兩邊同加上PEBE就得到要證明的結(jié)論.
二、造垂線法
在證題中,有時(shí)需要做垂線,造成直角三角形利用勾股定理或造成三角形的高以利用面積公式;或造成等腰三角形底邊上的高,以利用三線重合的性質(zhì);或造成平行性或利用平行線間的距離處處相等的條件等.在造垂線時(shí),常常是過(guò)已知點(diǎn)做已知直線的垂線,或者利用結(jié)論是直角或兩線垂直的定理造垂線.
三、合取和折取法
要證明一量等于其他兩量之和或差,常將兩個(gè)小量合取,證其等于大量,或者將大量折取成兩部分,證其分別等于其中的兩個(gè)小量.作為合取和折取的特殊情況,就是加倍和折半,這在證明一量等于另一量的兩倍或一半時(shí)常有.
四、翻折法
如果圖中出現(xiàn)軸對(duì)稱圖形,有時(shí)可以沿著對(duì)稱軸把一部分圖形翻折過(guò)去,從而達(dá)到證題的目的.
五、旋轉(zhuǎn)法
如果圖形中出現(xiàn)中心對(duì)稱圖形,有時(shí)可繞對(duì)稱中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn),或者圖形中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的等線段,可將一條線上的圖形繞此公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一條線段,或者甚至連等線段也沒(méi)有,有時(shí)仍需將某部分圖作一定的旋轉(zhuǎn),借此達(dá)到證題目的.
六、平移法
在證題中,有時(shí)還需要把一部分圖形平行移動(dòng)到適當(dāng)?shù)奈恢茫怪c證明的結(jié)論發(fā)生聯(lián)系.平移通常是通過(guò)作平行線來(lái)實(shí)現(xiàn).造平行線一般有:過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線、造平行四邊形、造中位線.
七、四點(diǎn)共圓法
通過(guò)證明四點(diǎn)共圓可造成等角條件,或利用圓中成比例線段定理.
例2 如圖4,圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩組對(duì)邊延長(zhǎng)各交于E、F,分別過(guò)E、F作圓的切線EG和EH.求證:EF2=EG2+FH2.
圖4
分析:過(guò)F、D、C作圓交EF于K,不難證明E、B、C、K共圓,于是EG2=EC·ED=EK·EF①,F(xiàn)H2=FC·FB=FK·EF②,兩式相加得EG2+FH2=EK·EF+FK·EF=EF·(EK+FK)=EF2.
(一)一般方法:全等三角形的性質(zhì);2線段的垂直平分線或角平分線的性質(zhì);3等腰三角形的性質(zhì)或“三線合一”的性質(zhì);4特殊四邊形的性質(zhì);成比例線段;6圓中垂徑定理,或切線長(zhǎng)定理,或在同圓(等圓)中,等弧對(duì)等弦、弦心距等則弦等、弦等則弦心距等;7中間量傳遞;8計(jì)算證明
(二)特殊方法:方程法、面積法、三角函數(shù)法、補(bǔ)形法、反證法、同一法
大多數(shù)題有多種解法,需要對(duì)各種解法進(jìn)行優(yōu)化,找出最直接、最簡(jiǎn)單的一種有些題還需要用兩種或兩種以上的方法合并解決
例 如圖,菱形ABCD中,∠B=60°,點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊CD上
()如圖,若E是BC的中點(diǎn),∠AEF=60°,求證:BE=DF;
(2)如圖2,若∠EAF=60°,求證:AEF是等邊三角形
分析與解 ()如圖3,連結(jié)AC,在菱形ABCD中,∠B=60°,根據(jù)菱形的性質(zhì),易得ABC是等邊三角形因?yàn)镋是BC的中點(diǎn),根據(jù)“三線合一”,可得AEBC因?yàn)椤螦EF=60°,所以∠FEC=90°-∠AEF=30°,∠CFE=80°-∠FEC-∠C=80°-30°-20°=30°,繼而求得∠FEC=∠CFE,即可得EC=CF,繼而證得BE=DF
(2)如圖4,連結(jié)AC,可得ABC是等邊三角形,即可得AB=AC,求得∠ACF=∠B=60°因?yàn)锳D∥BC,所以∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD,所以∠AEB=∠AFC根據(jù)“AAS”定理,證得AEB≌AFC,所以AE=AF又因?yàn)椤螮AF=60°,所以AEF是等邊三角形
點(diǎn)評(píng) 此題主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想,合理構(gòu)造輔助線,繼而利用菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),以及等腰三角形的判定與性質(zhì)證明線段相等
例2 如圖,在ABCD中,BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,DF∥BE交AC于點(diǎn)F()寫(xiě)出圖中所有的全等三角形(不得添加輔助線);(2)求證:BE=DF
分析與解 ()根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AD=BC,AB=CD,根據(jù)“SSS”證出ABC≌CDA;根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠AFD=∠CEB,∠DAF=∠BCE,根據(jù)“AAS”證出AFD≌CEB;推出∠AEB=∠CFD,∠BAE=∠DCF,根據(jù)“AAS”證出ABE≌CDF;
(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AD∥BC,所以∠DAF=∠BCE因?yàn)镈F∥BE,所以∠AFD=∠CEB即∠AFD=∠CEB,∠DAF=∠BCE,AD=BC,所以AFD≌CEB(AAS),所以BE=DF
點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用主要考查了學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力當(dāng)然,問(wèn)題(2)也可以通過(guò)證明ABE≌CDF解決關(guān)鍵只要能找到分別有BE、DF為對(duì)應(yīng)邊的兩個(gè)全等三角形
例3 如圖6,在四邊形ABCD中,∠DAB=∠ABC=90°,CD與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)E,EFAB于點(diǎn)F,EF交BD于點(diǎn)G,設(shè)AD=a,BC=b
()求CD的長(zhǎng)度(用a,b表示);
(2)求EG的長(zhǎng)度(用a,b表示);
(3)試判斷EG與FG是否相等,并說(shuō)明理由
分析與解 ()因?yàn)锳B為半圓的直徑,∠DAB=∠ABC=90°,所以DA、BC為半圓O的切線又因?yàn)镃D與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)E,所以DE=DA=a,CE=CB=b,所以CD=a+b
隨著新課程改革的順利實(shí)施,我在教育教學(xué)方面結(jié)合學(xué)生實(shí)際和現(xiàn)有教材實(shí)施新課程改革,在改革教法和學(xué)法方面下工夫,讓學(xué)生思維的火花燃起來(lái),極其強(qiáng)烈的求知欲。在教學(xué)中采用討論-----探究-----合作------創(chuàng)新的教學(xué)方法受益非淺,在教學(xué)時(shí)收到了令人十分驚喜的效果。
課前布置預(yù)習(xí)作業(yè)讓學(xué)生展開(kāi)思維的翅膀去猜想此題有多少種不同的證法,給學(xué)生充分發(fā)揮自己能力的空間和創(chuàng)造運(yùn)用知識(shí)的機(jī)會(huì)。
一、檢查預(yù)展示成果。
課堂教學(xué)實(shí)在玉溪的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,新課之前讓學(xué)生展示自己的預(yù)習(xí)成果互相交流,在交流中激起學(xué)生的求知欲望。
二、一題多證開(kāi)啟思維
課堂采用討論、探究、師生交流的方式解決問(wèn)題。讓學(xué)生在討論中收獲知識(shí),在交流中拓廣知識(shí),在辯論中加強(qiáng)記憶。
在教學(xué)《平行線分線段成比例》一節(jié)的例7時(shí)收到了意外的驚喜。
師:大家作了預(yù)習(xí),你能用不同的方法來(lái)證明例7嗎?師出示例題及圖形
生:能。
師:同學(xué)們想出了多少種不同的方法。
生:2種,3種,4種,7種。
師:誰(shuí)來(lái)展示自己的成果?
生:我來(lái),我來(lái)。(學(xué)生積極搶答,興趣很高)
師:同學(xué)們積極性很高,老師特別高興,下面請(qǐng)兩種方法的小組來(lái)證明例7。
生甲:我第一種方法是過(guò)B點(diǎn)作AC的平行線交BA于E點(diǎn)來(lái)證明的.
第二種證法是過(guò)B點(diǎn)作BEAC,交AD
延長(zhǎng)線于E。
師:下面請(qǐng)有不同證法的同學(xué)來(lái)講解你的證法。
生乙:證法3是過(guò)D分別作AB、AC的平行線交AC于E,AB于F。
證法4是在AB上截取AE=AC,過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE交AD延長(zhǎng)線于F。
證法5是我預(yù)習(xí)了相似三角形用相似三角形來(lái)證明。分別過(guò)B、C點(diǎn)作AD的垂線,垂足分別為E、F。首先證ABF∽ACE再證BFD∽CED就得到結(jié)論。
證法6作AP∥BC過(guò)B點(diǎn)作BM=AC交AP于M,所以梯形AMBC是等腰梯形,作OD∥AC交AB于O,作NO∥AM交BM于N,然后利用平行線分線段成比例定理和合比性質(zhì)可得出結(jié)論。
證法7和例題的一樣。
三、關(guān)注學(xué)生的情感,激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)。
這堂課結(jié)束是老師肯定了學(xué)生的表現(xiàn)。很好,你們想出了7種方法,可以看出同學(xué)們預(yù)習(xí)很到位,老師很開(kāi)心,請(qǐng)同學(xué)們對(duì)這堂課做一下課堂小結(jié)。
生丙:一題多證使我的思維開(kāi)闊許多,同時(shí)也認(rèn)識(shí)到預(yù)習(xí)很重要,舊知識(shí)的復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)新課的基礎(chǔ),所以在以后的學(xué)習(xí)中我要注意這兩點(diǎn)。
生丁:這堂課我上的很開(kāi)心,對(duì)數(shù)學(xué)很感興趣,覺(jué)得數(shù)學(xué)很好學(xué),但是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要勤思、善學(xué)講究方法才能不走彎路,當(dāng)有一題多證時(shí)我認(rèn)為應(yīng)選擇最簡(jiǎn)單的方法。
四、每堂課都要自我反思
這堂課的氛圍很好。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中給學(xué)生提供一個(gè)討論-----合作------探究--------創(chuàng)新的機(jī)會(huì),讓學(xué)生展示自己的才能,肯定學(xué)生的學(xué)習(xí)成果,引導(dǎo)他們一步步走向知識(shí),達(dá)到善學(xué)、樂(lè)學(xué)。
這堂課最大的特點(diǎn)是:充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題。由“要我學(xué)變我要學(xué)”。解決問(wèn)題的方法和結(jié)果具有現(xiàn)實(shí)性和多樣性,教學(xué)過(guò)程中突出學(xué)生的主體參與和主動(dòng)探究意識(shí)。學(xué)生在合作探究的過(guò)程中,產(chǎn)生思維碰撞,點(diǎn)燃思維的火花。因此課堂可能會(huì)出現(xiàn)教師意想不到的許多情況,它要求教師具有優(yōu)良的素質(zhì)和先進(jìn)的教學(xué)觀念及過(guò)硬的基本功,更要有駕馭課堂行為、靈活處理突發(fā)事件的能力。
“良好的開(kāi)端,等于成功的一半。”一節(jié)課上的是否成功,導(dǎo)入新課效果如何是關(guān)鍵。我在數(shù)學(xué)教學(xué)中,常用如下幾種方法導(dǎo)入新課。
1類比導(dǎo)入法
根據(jù)新舊知識(shí)的相似點(diǎn),采用類比的方法導(dǎo)入新課。因?yàn)閿?shù)學(xué)有嚴(yán)密的科學(xué)體系,知識(shí)的連貫性很強(qiáng),多數(shù)概念、定理、公式都產(chǎn)生或發(fā)展于相應(yīng)的原有知識(shí)的基礎(chǔ)上,所以由類比導(dǎo)入新課在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中較為常見(jiàn)。例:學(xué)習(xí)“分式”,可從“分?jǐn)?shù)”引入;學(xué)習(xí)“一元二次不等式”可從“一元一次方程”引入;學(xué)習(xí)“根式的基本性質(zhì)”可從“分式的基本性質(zhì)”引入等等。但要注意類比只能是一種推理方法,其結(jié)論不一定成立,對(duì)于類比提出的概念、公式、定理需給出嚴(yán)格的定義和論證,以防混淆。
2復(fù)習(xí)引入法
一些與學(xué)過(guò)知識(shí)有密切聯(lián)系的新課題,應(yīng)盡量采用聯(lián)系舊知識(shí)的方法,使與新課有聯(lián)系的舊知識(shí)在學(xué)生的頭腦中重現(xiàn)。然后,對(duì)舊知識(shí)的形式或成立條件作適當(dāng)?shù)奶幚恚鲂抡n題。如:講“平行線分線段成比例”時(shí),我這樣引入:首先復(fù)習(xí):①什么叫做兩條線段之比?它們的比與測(cè)量時(shí)所取的長(zhǎng)度單位是否有關(guān)?②請(qǐng)敘述平行線等分線段定理,能否將定理的結(jié)論改為AB:BC=DE:EF如圖)?
這里,第①題為線段成比例和測(cè)量不盡時(shí)變換長(zhǎng)度單位埋下伏筆。第②題,把AB=BC,DE=EF轉(zhuǎn)變?yōu)锳B:BC=DE:EF,自然地過(guò)渡到成比例線段。然后,老師稍加點(diǎn)撥,巧妙入題:若AB≠BC,上面的比例式是否成立?
3錯(cuò)例引入法
針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤,精心設(shè)計(jì)有針對(duì)性的練習(xí)題,上課伊始,讓學(xué)生練習(xí),再分析,使大家知道錯(cuò)在何處,為什么錯(cuò)。這樣既加深了學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的理解,又為學(xué)習(xí)新知識(shí)掃清了障礙。
如:在講“相似多邊形”這一節(jié)課時(shí):
師:在一塊長(zhǎng)方形木板的四周,鑲上等寬的木條,得到一個(gè)新的長(zhǎng)方形,內(nèi)外兩個(gè)長(zhǎng)方形是否相似?
生:相似。
當(dāng)老師把學(xué)生認(rèn)為“千真萬(wàn)確”的生活經(jīng)驗(yàn)否定時(shí),學(xué)生的思維頓時(shí)活躍起來(lái),注意力立即集中到老師所提出的問(wèn)題上,由此順勢(shì)導(dǎo)人新課。
4生活實(shí)例引入法
在開(kāi)課時(shí)用與新授內(nèi)容有關(guān)、學(xué)生熟知的生產(chǎn)、生活中的實(shí)際例子引入新課,這不但能使學(xué)生感知數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系,提高學(xué)習(xí)的目的性,而且能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,提高學(xué)習(xí)的自覺(jué)性。
如:在導(dǎo)入三角形全等的判定定理時(shí),可問(wèn):“如圖,有一塊三角形形狀的玻璃,被打斷成兩塊,若要再劃一塊同樣大小的玻璃,要不要將兩塊都帶去?為什么?”
再如:講授“直角坐標(biāo)系”時(shí),教師可首先讓學(xué)生打開(kāi)課本,翻到某一頁(yè)并提問(wèn):“誰(shuí)能告訴我,這頁(yè)第三行的第四個(gè)字是什么字?”當(dāng)學(xué)生一從這些生活實(shí)例中領(lǐng)悟到“兩個(gè)有序?qū)崝?shù)可以確定平面內(nèi)的點(diǎn)的位置”時(shí),教師再講解“直角坐標(biāo)系”,已是水到渠成了。
5學(xué)生實(shí)驗(yàn)導(dǎo)入法
通過(guò)學(xué)生親手參加某種實(shí)踐,來(lái)導(dǎo)入新課。
例如:講“三角形內(nèi)角和定理”時(shí),一上課要求學(xué)生用硬紙板剪一個(gè)三角形,把它按如圖所示的方法剪開(kāi),然后把三個(gè)內(nèi)角接在一起,使三角形的頂點(diǎn)重合。問(wèn):“這三個(gè)內(nèi)角的和等于多少度?”由此導(dǎo)人三角形的內(nèi)角和定理。這樣導(dǎo)入新課,學(xué)生有親身的感受,學(xué)習(xí)起來(lái)注意力集中,記憶牢固。
6故事導(dǎo)入法
在新課的開(kāi)始,不是急于提示課題,而是先講一個(gè)與本課題有關(guān)的數(shù)學(xué)典故來(lái)揭示課題,使學(xué)生在好奇中思索,探究問(wèn)題的答案。例如:在講“有理數(shù)的乘方”前,先講一個(gè)故事,關(guān)于古印度舍罕王重賞他的宰相的一個(gè)故事。當(dāng)學(xué)生聽(tīng)到宰相只要求國(guó)王在國(guó)際象棋棋盤(pán)的64個(gè)格中放人麥粒,各格的麥粒數(shù)依次是1、2、4、8、16……覺(jué)得很可笑。但聽(tīng)到國(guó)王找來(lái)無(wú)數(shù)袋小麥仍不夠時(shí),又都驚奇不已。最后老師說(shuō):“國(guó)王僅在第64格放人的麥子就有263粒,263是非常大的一個(gè)數(shù),把印度全國(guó)所有收獲的麥子放在一起也沒(méi)它多,那么究竟263是一個(gè)怎樣的數(shù)呢?”同學(xué)們急切地盼著老師把謎底揭開(kāi)。由此巧妙地導(dǎo)入“有理數(shù)的乘方”這一新課。
7開(kāi)門見(jiàn)山導(dǎo)入法
這種方法直接點(diǎn)明要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,即開(kāi)門見(jiàn)山。當(dāng)一些課題與學(xué)過(guò)知識(shí)聯(lián)系不大,或者比較簡(jiǎn)單時(shí),可采用這種方法,以使學(xué)生的思維迅速定向,認(rèn)真投入對(duì)新知識(shí)的探究、學(xué)習(xí)中。常見(jiàn)的是“上節(jié)課我們學(xué)習(xí)……,這節(jié)課我們學(xué)習(xí)……”或“這節(jié)課我們學(xué)習(xí)……”等形式。這種方法使用率很高,這里就不再多講了。
導(dǎo)入新課的方法,當(dāng)然不止這些。怎樣導(dǎo)入新課,必須根據(jù)教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)對(duì)象的具體情況而定。但要注意導(dǎo)入新課只是課堂教學(xué)的其中一環(huán),不論何種形式,都要簡(jiǎn)明扼要,緊扣課題,切忌喧賓奪主,影響正課進(jìn)行。