1運用實例說明概率問題理性求解的重要性

由于學生接觸的主要是確定性事物，對于不確定性事物的認識非常有限，學生有關概率與統計的認識大都來自于個體的一些零碎的、不成熟的經驗．盡管現在義務教育階段已經增加了概率與統計的內容，但其教學目標定位于感性和定性認識的水平．因此，學生對許多問題還無法進行理性判斷，往往只能借助于已有的經驗或先前概念（學生在未學習嚴格定義之前就有的概念）來進行判斷．例如：有5個足球迷欲通過抽簽的方式決定誰獲得唯一的一張足球賽入場券，為此設有5張卡片，其中只有一個寫有入場券字樣，5個人依次從中抽?。畬Υ祟悊栴}有不少學生認為，先抽取的人比后抽取的人得到入場券的可能性大．但是，概率的確定卻不依賴直覺，通過事件之間的關系以及乘法公式嚴格的推理可以證明：在抽取過程中，不論先抽還是后抽，抽到的概率都是相同的，均為15．學生在作業中經常出現的一個錯誤，當一個事件的概率為1時，如P(A)1，學生往往會不假思索地寫出結論：ABB或者ABA．在這里學生犯錯誤的原因仍然是直覺判斷，很多學生認為概率為1的事件一定會發生，從而是必然事件，因此得出錯誤結論．其實在講概率的幾何概型時，可以通過向邊長為1的正方形內投飛鏢的試驗，說明概率為1的事件不一定會發生．

2注意數學命題的轉換命題轉換

簡單地說就是把一個命題轉換為另一個命題．命題轉換本質上就是變換問題，通過改變問題的敘述和形式，改變觀察和分析問題的角度，使問題呈現出新的面貌，引發新的思考和聯想，從而使問題獲得解答．命題轉換是數學命題理解的一種重要方法，對數學命題的學習具有非常重要的意義．命題轉換不僅可以深化對原有命題的理解，優化學習者的認知結構，而且有利于學生創造性思維能力的培養以及良好數學素養的形成．在概率統計的教學中，有時需要將嚴謹的數學語言轉換成通俗語言．如在講授參數估計中點估計問題時，教材是這樣描述的：所謂點估計問題就是要構造一個適當的統計量12ˆ,,,nXXX，用它的觀測值12ˆ,,,nxxx來估計未知參數．通過提問發現，學生對點估計并不十分理解，但看了例題后不用知道這個概念也會做相關習題．其實完全可以將點估計概念換一種方式敘述，即所謂點估計就是通過構造樣本函數的方法將未知參數的值估計出來．這樣一來，學生對點估計理解就會很容易了．由于形象記憶比抽象記憶更容易被學生接受，因此，在授課過程中有時也需要將代數語言與幾何語言做轉換．如在講授連續型隨機變量的概率密度函數的性質時，概率密度函數有2個基本的性質：轉換成幾何語言就是：概率密度函數f(x)幾何上表示一條位于x軸上方的曲線并且此曲線與x軸之間所圍圖形的面積是1．如果學生能記住這樣一個幾何印象，那么對于概率密度函數的性質就會牢記于心了．另外，在概率統計課程的教學中有時也需要注意數學命題的邏輯轉換．如在講授隨機變量的數學期望的性質時，有命題：如果2個隨機變量X和Y相互獨立，由于原命題與逆否命題是等價的，因此，則一定可以推出隨機變量X和Y不獨立．數值反映了隨機變量X和Y之間的某種關系，這就是后面要學習的協方差概念．

3注重對概念的正確理解

數學學習的關鍵是理解，概率統計的學習也不例外．理解與記憶是相互滲透、相互促進的．就一本教材而言，它的內容無非主要是概念、性質以及例題和習題等．其中，對概念的正確理解是第一步的，是理解性質、例題和習題的基礎，如果對概念能正確理解，那么對性質、例題、習題的理解也會融會貫通．相反，如果學生從一開始就通過死記硬背的方式把概念記下來，那么學生就只能從頭背到尾，無法深入地理解和掌握所學的知識．所以，正確地理解數學概念是非常重要的．如在講授隨機變量的數字特征方差時，隨機變量X的方差D(X)定義為：隨機變量X的期望E(X)表示隨機變量X的平均取值，這樣2(XE(X))的大小可以表示隨機變量X的取值與其平均取值的偏離程度，再取期望后偏離程度就變成平均偏離程度了，因此隨機變量X的方差2D(X)E(XE(X))表示隨機變量X的取值與其平均取值的平均偏離程度．在講授點估計量的評價標準時，課本對有效性的定義為：設1ˆ和2ˆ都是參數的無偏估計量，則稱1ˆ較2ˆ有效．在講完有效性定義后，可以向學生提出問題：為什么稱一個方差小的無偏估計量比方差大的無偏估計量更有效．這時有的學生就會覺得這個問題有些奇怪，因為他們覺得這就是一個定義沒有為什么．在他們看來定義就是一個一成不變的東西，其實不然，作為教師應該向學生闡明定義總是有根據的，既然稱1ˆ較2ˆ有效，就一定有其緣由的．方差刻畫的是隨機變量取值偏離其平均取值的平均偏離程度．由于1ˆ和2ˆ都是參數的無偏估計量，故1ˆ和2ˆ的平均取值都是參數的真值，所以方差小意味著其與參數的真值偏離來得小，從而方差小的無偏估計量更有效．通過這樣的解釋，學生對這個定義的理解就相當透徹，也無需刻意對這個定義進行記憶．

1課程的教學現狀

近半個世紀以來，科學技術迅猛發展，新知識、新成果不斷涌現，數字化特點凸顯。根據2002年度美國國家科學基金會資助的研討會報告，目前我們收集的數據需求呈指數增長，而數據分析的需求呈二次增長，但統計的專業人才呈線性增長并且目前統計學的教育遠遠落后于實際需求。邵啟滿教授“給當今畢業生的建議，就兩個字:統計”。我們當前的數理統計課程的教育還處于“非常狹窄的計算機時代前的統計學”，嚴重滯后于不斷發展中的現代統計學。大部分的研究生教科書內容仍然是從統計量到點估計，繼而假設檢驗、回歸分析和方差分析等基礎知識的呈現及統計方法的推導。課程的教學大綱中也以理論推導為重點，注重統計方法的理論基礎和演繹證明，而對于實際應用較多的現代統計方法缺乏介紹，忽視與各種統計軟件的結合。因此，我國工科研究生畢業論文實驗數據處理手段較為低級，對異常數據缺乏理性說明。我們的研究生往往在學完數理統計課程后，雖然掌握了基本的統計方法和推導，但進入科研工作碰到實際數據時，對數據的收集、處理和分析仍然一籌莫展。這也是促使我們教學理念轉換的主要原因，研究生數理統計課程應以現代統計應用為中心，不僅要求學生理解和領會統計思想，還應正確使用統計方法，根據計算結果作出正確的推斷，給出合理的解釋。

2教學變革的嘗試

由于課程的實用性和重要性，學生普遍對數理統計課程比較感興趣。如何調動學生的主觀能動性，變“被動灌輸”為“主動探索”，在有限的課時內學習較多的統計知識呢?我們教學變革主要采取如下措施。

2．1教學內容的調整為了避免重復學習，我們對原來本科時已經學習的統計量與抽樣分布、參數估計這部分內容只簡單復習，溫故知新，不再細講。而對目前生物醫學工程中應用較普及的方差分析、回歸分析，我們補充了生物醫學方面的實例，運用軟件進行統計分析，并對運行結果詳細講解。對于教材未介紹的非參數檢驗和實驗設計部分，補充幾種常見的統計方法。對于較復雜的多元統計和現代統計學部分，我們引入PBL教學模式，通過分組、問題探究、成果匯報、反思和完善幾個步驟，完成學習內容。

2．2教學方式的改進在課程的教學中，我們盡量做到深入淺出，回避復雜的推導、運算和證明，強調對統計思想的理解以及統計方法的運用，同時注重和統計軟件的結合。統計從某種意義上說是與數據打交道的科學，沒有實際數據的統計分析，不利于學生對統計方法的理解和應用。教學中如果仍然當成數學課程，注重統計理論中定理和公式的推導演算，而缺乏實際的數據分析訓練，學生就無法對統計的廣泛應用性及重要性有深刻的體會，也不利于保持和提高他們的學習興趣。我們補充了生物醫學方面的實例，通過數據分析，提高他們對統計方法的實際應用能力，也為后續PBL教學的順利開展做準備。大部分學生在本科階段已學習Matlab軟件，而且工科學生計算機應用能力較強，因此我們要求學生自學一門統計軟件(如SPSS、R等)或使用Mat-lab，對所有的實例在軟件中實現數據分析。軟件輸出的是數值或圖表，并沒有詳細的解釋、分析和結論，學生必須結合數據背景知識，應用所學統計方法，進行分析推斷，最后給出結論和合理的解釋。

1．教材、教輔和習題集相結合

一本好的教材，是教師備課、學生學習的參考和指南。從2011年下學期開始，在保證教學大綱基本要求的前提下，我院獨立編寫了應用型本科“十二五”重點規劃教材———《簡明概率論與數理統計》（王其元主編），本書的主要特色是簡單明了，循序漸進，易讀易學，且能啟發和培養學生的自學能力。內容包括隨機事件及其概率、隨機變量及其分布、多維隨機變量及其分布、隨機變量的數字特征、大數定律及中心極限定理、統計量及抽樣分布、參數估計、假設檢驗共8章內容。創新點是刪減復雜的理論推導和證明，增加了與專業背景相聯系的實際應用題；同時編寫了與教材相配套的學習輔導書，按教材的順序逐節編排，包括每節的內容要點、教學要求、釋疑解難、例題增補、重點習題詳解五部分；習題集是學生的作業本，是檢驗學生學習效果的試金石，教師通過批改作業，能夠發現問題，做到心中有數。教材是教學的基礎和核心，教輔和習題集是有力補充。通過實踐發現，三者相結合的教學改革方式比較適合獨立學院學生的學習，收到了良好的教學效果。

2．課前集體備課、課上靈活授課和課后輔導答疑相結合

采取課前集體備課的方式，可以充分激發教師的潛能和主觀能動性，培養教師的團隊精神和合作意識。通過相互間的交流和切磋，教師能夠碰撞出知識的火花，體會到教學的激情和快樂；在授課中，改變以教師為中心“滿堂灌”的傳統呆板的教學模式，采取靈活多樣化的授課方式，嘗試采用“案例式”“啟發式”和“討論式”教學方法，正確引導學生、調動學生學習的熱情和積極性；教師根據課程進度和課時安排，每學期分階段的集中為學生進行課后輔導答疑，幫助學生解決學習中遇到的困惑，教師和學生受益都很大?？傊?，采取課前集體備課、課上靈活授課、課后輔導答疑相結合的教學方式，提高了教師的授課水平，增強了與學生間的情感交流，提高了概率考試的一次通過率，為學生順利畢業打下了良好基礎。

3．理論教學和實驗教學相結合

我院“概率論與數理統計”教學共48課時，其中理論教學40課時，實踐教學8課時。在實驗教學中，增加實驗教學內容，設置了拋硬幣、正態分布模擬、方差分析等實驗，讓學生通過實驗理解概率論與數理統計的思想，提高學生的動手和解決實際問題的能力。

一、教學改革成果

長春理工大學是一所以光電技術為特色,光、機、電、算、材相結合為優勢，工、理、文、經、管、法協調發展的省屬多學科重點大學。人才培養目標是培養具有創新性的復合型人才。而“概率論與數理統計”課程則是培養人才知識結構中不可缺少的重要組成部分。為了將“概率論與數理統計”課程教學內容緊密地與各專業培養目標相結合，學校組織相關人員對全校各專業進行了調研，了解了各專業對“概率論與數理統計”課程的需求，及時修訂、調整和更新了課程的教學內容，重新制定了教學大綱，增加了突出課程內容的應用性。例如，在經管學院各專業，我們增加了統計內容的學時，達到64學時，有利于學生后續專業課程的學習；在社會工作專業，增設了概率論這門課程，便于學生更好地理解統計方法。“概率論與數理統計”課程在信息與計算科學專業共有80學時，學校開設過本課程的雙語教學，使用英文原版教材，使教學內容與國際接軌；曾將本課程分成“概率論基礎”與“數理統計”兩門課開設。本系教師在上數理統計課時給學生講了一點SAS軟件和SPSS軟件知識，起到了較好的效果，之后由于課程整合的需要又合并成一門課程。經過多年教學改革與教學實踐，結合長春理工大學專業特點和學生的實際情況，1997年開始使用學校自編的《概率論與數理統計》教材。目前課程組成員編寫的《概率論與數理統計》2011年由高等教育出版社出版發行，新教材在本校已經使用了3年，效果很好，2013年獲得兵工高校優秀教材一等獎。與教材配套使用的同步練習冊每年發行一次，做到實時更新。在校園網上建立了“概率論與數理統計”精品課網站，同學們可以下載與課程同步的PPT、往屆的練習題，還可以在網上留言，解決疑難問題。在該課程的改革與實踐中也遇到了一些問題。如分類教學改革成果還沒有充分顯現出來，對理、工、文、經、管、法等不同專業的“概率論與數理統計”課程分類教學還缺乏反饋信息；有些院系缺乏本課程的實踐環節，不利于提高學生運用數學知識的實踐能力；信息化背景也給教師隊伍提出了很高的要求。

二、對課程教學改革中出現的問題的改進

在教學過程中為了更好地解決信息化背景下“概率論與數理統計”課程教學與培養學生創新實踐能力和應用能力的關系,實現教學內容與教學模式的改革與學生應用能力培養的統一。下面從三個方面說明進一步的改進措施。

（一）進一步加強“概率論與數理統計”課程的分類

教學與課堂教學改革結合學校學生的實際情況，進一步加強理、工、經管、生命、社會工作等不同專業的分類教學，針對不同專業采取不同學時、內容有所側重的分類教學模式，加強統計方法的應用教學，對不同專業的分類教學進一步進行探討。

1概率論與數理統計教學現狀

一是課時設置較少，而老師為了完成教學任務，不得不加快速度，知識點沒辦法講細，勢必會造成學生“貪多嚼不爛”;且課程內容較多，如果老師本身的知識結構沉淀不夠，只是“照本宣科”，簡單介紹概念、定義、理論和方法，缺少對實際的概率統計背景知識及發展現狀的介紹，忽視對學生實踐和應用能力的培養，導致所教知識、方法不能被學生接受、及時掌握。二是在應試教育的影響下，學生思維固定，缺乏學習的主動性。許多學生學習的目的是為了考試過關，對于考試涉及不到的課程知識，就只是簡單了解或干脆不學，所以在整個學習過程中，不注重課程思想方法的領悟，只是忙于做題，把學習的目標僅僅定位于能看懂例題，會做課后習題，只關心具體解題的步驟，從而去模仿解題，而不是領會課程知識所呈現的方法。三是教師忽略與相關學科間的關系，只進行單一教材的課堂教學，沒有適當穿插一些相關學科的知識，教學資源不能得到優化配置;教材比較陳舊，理論聯系實際的應用實例較少，即使有一些聯系實際的實例，也不涉及到當今科技信息，導致了學習與實踐的脫節;教師在教學中解決實際問題的能力不夠，理論與實際聯系少之又少，即使有，表現的應用背景也被形式化的演繹一帶而過，學生“霧里看花”，難以琢磨、難以理會，畏懼心理滋生。同時，教材中都是一些聯系很緊湊的理論，以及簡化了過程的證明和計算，學生感覺不到學習樂趣，意義就更談不上了，這也是造成很多學生放棄對這門課程的學習，只背重點、記憶模仿解題應付考試的重要原因。

2問題的解決方案

2．1從整體內容上把握教材

根據《概率論與數理統計》教材，該課程整體上是講述三個大的問題:一是概率論部分，介紹必要的理論基礎;二是數理統計部分，主要講述參數估計和假設檢驗，并介紹了方差分析和回歸分析的方法;三是隨機過程部分，在講清基本知識的基礎上主要討論了平穩隨機過程，是隨機變量的集合，能完全揭示概率的本質。課本上的很多問題都是圍繞這三個問題來講述的，因此，要打破“重理論，輕應用”“重概率，輕統計”的教學思想，且從整體上完整地對這三個問題進行講授。由于概率論與數理統計的知識點多而零散，初學者對知識點不容易全面系統地把握，所以老師在教學中要經常引導學生進行簡單復習回顧，從而使學生能夠高效而快速地理解所學知識，系統掌握這有機結合的三部分內容。

2．2在講授中要有其客觀背景