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內容提要本文在數理層次上探討了一般網絡系統的拓撲性質、對稱性質，界定了網絡和網絡度概念。以此為基礎，討論了社會系統微觀的基本子系統及基本相互作用的性質，認為社會主體已占有、可占有及想占有的物質、能量、信息權力的大小是其主要規定；考察了社會系統宏觀上的依賴于網絡度和非線性程度的結構、功能性質。進而提出并嘗試解決社會系統的結構優化問題。

關鍵詞網絡網絡度社會結構優化

對于由眾多子系統組成的復雜系統來說，網絡模型具有一般的意義，因為復雜系統的微觀動力學機制源于子系統的相互作用，宏觀運動學現象源于子系統間的相干行為，網絡模型正是從這兩個角度來研究復雜系統的動力學及運動學行為的。再者，由多個子系統組成的復合系統大量存在于自然界、生物界及人類社會中，網絡模型不僅可以提供處理這些系統的一些具體方法，而且可能具有方法論上的啟示，它是研究復雜系統的一種一般方法。

社會系統從本質上說是人與人社會相互作用的網絡系統，這里所指的社會是廣義的社會，是經濟、政治、文化、狹義的社會等所有要素的綜合體，因而它不僅有一般網絡系統的基本性質，而且包含了經濟、政治、文化等多種性質。

一、網絡系統的數理描述

1、網絡系統的數學描述

從數學角度看，網絡系統有其特定的性質，這些性質是其一切衍生性質的基礎。

（1）、網絡概念

用數學語言說，網絡最基本的單元(組元)是點，稱為網絡的頂點；點與點間由線來連接，連接頂點的線稱為網絡的棱。若用N表示頂點的集合，E表示棱的集合，則一個圖便可表示為G(N，E)。多個點和線構成的圖形即為網絡，一個網絡包括頂點和棱兩類實體要素。

（2）、網絡度概念

包含有N個頂點的網絡，若任兩點間都有一條棱連接，那么棱數為：

nmax＝(N-1)+(N-2)……+1＝N(N-1)/2

這是任一網絡中可能有的最多連線數。顯然網絡中可能有的最少連線數是0。

對于含有N個頂點、n條棱的網絡，我們定義其網絡化程度(簡稱網絡度)為：

ρ＝n/nmax＝2n／N(N-1)

由于n∈[0,nmax]，nmax＝N(N—1)/2，所以ρ∈[0,1]。ρ在其整個定義域[O，1]內有很多臨界點，其間網絡的數學性質(主要是拓撲性質)有很大不同。

（3）、網絡的拓撲性質

一個系統的拓撲性質是指它的那些不依賴于“度量”的性質，確切地說是在同胚映射下保持不變的性質，它是系統固有的“結構”性質。不同的具體網絡系統其度量性質可能千差萬別，但其(某些)拓撲性質卻可以相同，因而拓撲性質是對網絡系統進行一般研究的較好角度。

網絡度為ρ的網絡系統，具有相應的“分支數T1”、“割點數T2”、“指數為k的點數∝k的分布g(k)”、“歐拉示性數χ(G)”、“橫檔數T3”等拓撲性質或稱拓撲不變量。[1]以網絡度ρ為指標的網絡系統可分為以下幾種具有不同拓撲性質的基本類型：ρ＝0的完全非連通網絡，0＜ρ＜2/N的非連通網絡，ρ＝2/N的連通網絡，2/N＜ρ＜1的連通網絡，和ρ＝1的完全網絡。

2、網絡系統的物理描述

（1）、物理意義上的網絡系統

任何真實的網絡系統，除數學性質外，還有其物理意義，物理上的網絡系統是由子系統和相互作用構成的。首先，與數學網絡中的“點”相對應的是所謂的“子系統”，子系統是網絡系統最基本的組元，有其特定的性質，我們以Ci(t)表示網絡系統中第i個子系統t時相對穩定的固有性質。其次，與數學網絡中點與點間連線相對應的是子系統間的相互作用關系gij，相互作用是子系統結合成整體系統的紐帶，它是子系統及整體系統存在、變化、發展的基礎和動力。“相互作用是指兩個子系統間傳遞物質、能量、信息的行為”，它有方向、強度、成分特征。[2]再者，物理意義上的網絡系統，其網絡度ρ的定義域仍為[O，1]，在此定義域內系統為廣義的網，其間同樣有一些臨界點，在由臨界點所分割的不同區域中，系統的相應性質有較大差別。

（2）、網絡系統的對稱性質

網絡系統的數學性質主要是與“度量”無關的拓撲性質，而其物理性質則主要是與“度量”有關的對稱性質。

①、網絡系統時間對稱性質

網絡系統中的子系統性質Ci、子系統間相互作用gij、網絡度ρ都是時間t的函數。隨時間的流逝，它們變或不變及變化的方式決定了系統相應的動力學性質。

Ci、gij若是時間對稱的，系統基本上是非演化的。Ci與gij時間不對稱時，(Ci、gij)∝t的具體的不對稱方式，決定了子系統與整體系統的具體動力學性質，系統成為具有特定演化方式的演化系統，Ci、gij、ρ時間不對稱形式的豐富多彩決定了系統演化方式的豐富多彩。

②、網絡系統網絡空間對稱性質

Ci、gij實際上都是在網絡空間(i,j，…)上定義的，它們相對于網絡空間的對稱性質是系統重要的物理性質。

Ci、gij相對于網絡空間(i,j，…)對稱，會導致網絡度ρ等拓撲變量相對于網絡空間對稱，此時系統為平衡系統，不存在內部的“勢差”及結構。Ci、gij∝(i,j，…)不對稱時,存在兩種情況：a、ρ∝(i,j，…)不對稱，系統在整體結構上是不平衡、不平權的，相互關聯的子系統Ci及其相互作用gij的變化不僅決定于其固有性質，而且決定于其“結構性質”。b、ρ∝(i,j，…)對稱，網絡空間各處的相互作用只有強度的差別而沒有“有”“無”的差別，這時ρ及其它拓撲性質都將對稱。這種系統只有完全非連通網絡和完全網絡，它們都是結構性質對稱即結構平權的。

③、網絡系統嵌入空間對稱性質

Ci、gij以致ρ雖然是在網絡空間(i,j，…)上定義的，但是任何網絡系統都有其嵌入空間，就是說都有其客觀、真實的環境，因而Ci、gij、ρ同時在網絡系統的嵌入空間中具有定義。

若子系統數量N、性質Ci、作用gij以致局域網絡度ρ相對于嵌入空間對稱，則意味著環境情況對“系統的各子系統性質”、“系統的結構性質”等是對稱的，就是說不同的子系統、不同的結構所處的環境是相同的，那么這時系統的空間對稱性質將完全由其網絡空間對稱性質決定，而與環境無關。

若系統的嵌入空間性質即環境情況相對于系統的網絡空間不對稱，那么這時系統的空間不對稱性質，除結構上的網絡空間不對稱性質之外，還受環境的不對稱性影響，這種環境的不對稱性是系統相應方面的一個新的動力學因素。如Bénard實驗中，液面上下面溫度的不對稱及其程度決定了系統宏觀動力學狀態的不同：熱平衡、衡或遠離平衡。[3]

④、網絡系統標度對稱性質

標度對稱性質，是指以不同大小的尺度考察系統同一性質時其對稱性的情況，它同樣是系統物理性質的一個重要方面。

網絡系統的Ci、gij、ρ、T2、…等變量，若具有標度對稱性質，即在標度變換下保持不變，沒有特征尺度，就表明系統的相應性質具有整體與部分相似的特征，是個分形，進而我們也就可以用分形理論的思想和方法對其進行分析和處理。例如：若Ci標度對稱，則可對Ci相關現象進行重整化處理。[4]

網絡系統的Ci等量若不具有標度對稱性質，即在標度變換下發生變化，有特征尺度，那么其相應性質將不具有分形特征，系統也就不會有分形所具有的動力學性質。

⑤、網絡系統非線性性質

網絡系統的動力學方程，顯然是所有子系統動力學方程的聯立形式，系統的所有動力學性質(包括拓撲性質和對稱性質)都要以一定的數學形式體現在此方程中。那么從數學角度看，網絡系統動力學方程的非線性程度不同，其動力學性質會有本質差別。

上文用以刻畫網絡系統微觀、結構、拓撲、對稱等性質的量：Ci、gij、ρ、T2、T3、g(k)，及其相對于網絡空間(i，j，…)、相對于嵌入空間(x，y，z，…)、相對于標度等的分布方式，在一定情況下，都可能導致系統動力學方程的非線性化，這些能導致非線性機制產生的因素的可能的共同作用，會使網絡系統的非線性性質極其豐富、復雜，使系統成為強非線性的。二、網絡化視角下的微觀社會

在網絡下視角下，人類社會成為社會網絡，它在不同粗粒化程度上都有其微觀規定。

1、社會網絡的Ci

社會網絡是以個體人為基本子系統的，在此基礎上，組成各種層次、各種形式的子系統——社會主體，如：家庭、企事業單位、社團、民族國家等，它們在不同標度或條件下都扮演社會子系統的角色，具有特定的固有的社會性質Ci，他們是社會相互作用的參與者。

2、社會網絡的gij

社會網絡的gij是指子系統(各種社會行為主體)間所有形式的相互影響、相互作用，這種gij可以是經濟的、政治的、文化的，可以是法律的、道德的、情感的，也可以是物質的、能量的、信息的。gij從質到量都是i、j、t的函數，即特定的時間、特定的作用主體，會有特定的作用gij。

3、社會網絡的微觀價值

微觀社會主體，在其物理、生物意義之上，基本的和主要的“社會”規定是“價值和利益”。而價值和利益的大小歸根結底是社會主體己占有、可占有及想占有的物質、能量、信息權力的大小，它是社會主體相關的所有Ci、gij的總和，即∑[Ci、gij]。

當然，社會評價是多元的，依不同參照系統就會有不同評價，所以在一定參照系(包括標度)下，價值和利益的高低與相應評價(好或壞)不一定一致。如：一定程度貧富差距的存在，從某些個體角度看是不公正的，而從整體系統角度看卻可能有益于效率的提高。

三、網絡化視角下的宏觀社會

作為社會網絡系統子系統的各種社會主體，其Ci即固有性質一般具有相對穩定的整體分布，所以它不是“社會”這一整體層次上的主要因素，同樣gij也是較微觀化的。個體是目的，整體是手段，因而社會網絡系統基于微觀的[Ci、gij]的網絡度ρ及整體拓撲、對稱性質才是描述整體的變量。這里我們就以網絡度ρ為線索和切入點，來討論社會系統的宏觀價值。

l、ρ=0的社會網絡系統

ρ＝0的情況實際上在現實的社會系統中是不存在的，因為如果真的ρ＝0那么將意味著所有個人完全獨立，也就不存在所謂的“社會”。但是它又是聯系較松散的社會(gij≈0)的一種極端的典型情況，ρ＝0網絡的性質有助于說明此類社會的性質。

由前文對ρ＝0網絡系統動力學性質的討論，可知此時所有子系統網絡空間對稱，即在結構性質上是平權的，其演化僅依賴于自身固有性質Ci和所處環境(嵌入空間)Xi兩個因素。而整體系統是個純線性可加系統，整體嚴格等于部分之和。就是說，ρ＝0時所有子系統的“社會”價值依賴于其自身和環境的價值，而整體系統的社會價值是所有子系統價值的算術和。

例如：社會結構極其簡單的原始社會(個人為子系統，部落為整體系統)、小農社會(家庭為子系統)、古希臘城邦社會(城邦為子系統)，在一定程度上都可看作是ρ＝0的社會網絡系統。

2、o＜ρ＜1的社會網絡系統

在0＜ρ＜l時，包括不連通網絡、連通樹、非完全網絡，子系統性質Ci、子系統間作用性質gij、網絡拓撲性質ρ、g(k)、Tn等一般都是不對稱的。

在這種情況下，社會系統各種子系統的價值及其演化特征，不僅依賴于自身固有性質Ci和環境性質Xi，而且也受約束于其在網絡結構中的地位(網絡空間中的座標、不對稱性)。這樣，不同類型子系統的政治、經濟、文化價值(無論其得到的利益還是具有的影響)都有差異，這種差異依賴于網絡動力學性質的差異，具體的不平權情況將由所有動力學指標(Ci、gij、ρ、g(k)、Tn等的整體不對稱情況給出。

由于在整體層次上社會系統的整體性質決定于Ci、gij、ρ、g(k)、Tn等的分布，子系統間有相互作用，所以整體不等于部分之和，而且系統整體價值對不同類子系統的依賴程度不同，這種不同甚至會達到相反貢獻的程度，就是說不同子系統的利益可能是相沖突的，系統整體利益與一部分子系統利益一致，而與另一部分卻可能相反。

以連通樹形網為例，(a)它可對應于等級結構的社會系統，這種社會中，除線形“樹”外，g(1)(網絡末端子系統)占N中的大部分，一般有若kl<k2，g(kl)>>g(k2)，所以樹形等級結構是極其不平等的，系統的大部分利益(gij)集中于小部分割點級別高、指數級別高的類網絡中心子系統。(b)但是此類系統易于產生源于中心子系統的(它組織的)整體宏觀現象，這種性質在不同環境下會有不同的評價，在一定意義上它有效率但弱于公平，因而適于效率優先系統，不適于公平優先系統；在另一種意義上，可能正相反。(c)它雖然是連通的，但任何兩個子系統間只有一個或較少途徑相連接，因而這種連接是較脆弱的，系統的穩定性較差，易于發生大的振蕩。(d)由于物質、能量、信息等所有作用gij的傳輸速度都是有限的，所以此類系統的控制能力、穩定性、靈活性與網絡度ρ正相關，進而與其規模成反比(ρ＝1/N)。例如：封建等級社會、純計劃經濟體制、法西斯統治的社會等在一定程度上都具有上述特征。

3、ρ＝1的社會網絡系統

ρ＝1時，所有社會子系統網絡空間性質對稱，網絡結構平權，其價值大小及演化特征基本上依賴于自身固有性質和環境性質，這是一種“網絡機會均等”的社會。

由于子系統可以兩兩相互作用，也有不作用的自由，所以整體系統的價值也不等于部分之和，整體與部分間的關系是復雜的非線性情況，它與具體的網絡性質有關，如初始Σgij分布、ΣCi分布等。在一定條件下，整體價值既可能增長，也可能減少；可能極其穩定，也可能極不穩定。總之，一般強非線性系統所有的行為，在此類社會系統中都可能出現。

綜上所述，在網絡度ρ變化范圍內，社會系統中不同子系統的動力學性質相對于網絡空間越對稱，其動力學行為的差異越依賴于自身固有性質Ci和環境性質Xi的差異；動力學性質相對于網絡空間越不對稱，其動力學乃至運動學行為的差異就不僅依賴于自身和環境性質，而且在越來越大程度上依賴于其在系統網絡結構中的位置。例如：市場經濟網絡體系中，子系統(經濟主體)“機會均等”，那么其價值、生存機會、發展前景等的分布就較大程度地依賴于其自身素質、選擇策略、初始條件、地理環境等自身及環境因素。

整體層次上，網絡化程度ρ越高，社會系統動力學方程中可以出現更多種類和數量的非線性項；隨著非線性程度的加強，系統在運動學上可以表現出種種復雜現象。就是說，網絡度越高，系統可能的非線性程度越高，非線性程度越高使其運動機制越復雜，運動現象越多樣。四、社會系統的結構優化

具有以上微觀及宏觀性質的社會網絡系統，有其特定的動力學及運動學規律。在結構上從不同角度、側面看，人類現實社會基本上可劃分為兩種類型：類樹式結構和類網式結構，它們分別可以“樹，ρ＝1/N”和“完全網絡，ρ＝1”為典型的極端的代表。從網絡系統基本性質出發，比較此兩種類型結構的優缺點，有益于我們認識、選擇合理的社會結構方式。

1、樹式社會結構的優缺點

由于任何子系統處理與其直接相關的作用Σ(gij,gji)的(時間、空間、物質、能量、信息)能力有限，所以非兩兩相互作用的樹式結構方式是必要的，也是經常的、現實的；而且樹式結構在一定條件下受結構中心影響、控制，具有高效率的特點，所以此結構方式仍是不可或缺的。

從交換經濟角度看，交易可提高交易雙方及整體的效用，此結論可延伸至整個社會相互作用中，在這個意義上，網絡系統中指數越大的子系統所獲得的利益越大，因而指數的不同意味著利益條件的差異。樹式結構中，除線式外，一般有：若kl<k2，g(kl)>g(k2)，且g(kl)／g(k2)≈k2，所以樹式結構是極不平等的，系統的大部分利益(gij)集中于小部分子系統中。

樹式結構社會的各種性質網絡空間不對稱、不平權，子系統價值在相當程度上受結構性質的約束較強，其gij∝（i，j）分布將在相應程度上偏離Ci∝（i，j）和Xi∝（i，j）分布，因而社會系統有限的人力資源和自然資源將不能最優配置，存在較大的進一步優化的空間。

2、網式社會結構的優缺點

系統各種性質在網絡空間中對稱、平權的結構中，子系統價值更大程度上依賴于其固有性質和環境性質，即Ji∝（Ci，Xi），而Ji不∝（i，j），(gij,gji)和Ci相關性更大，因而社會系統整體上人力資源與自然資源能較優配置。

但是，網式結構的非線性程度可能很高，導致其不確定性、復雜性、不可控性、不可預測性等較強，因而網式結構在小概率上存在較大系統風險，如資本自由流動與亞洲金融危機的關系。

3、社會網絡系統的結構選擇

綜合樹式結構社會和網式結構社會的優缺點，我們看到，網式結構支持公平功能，樹式結構支持效率功能。因而，一般地社會控制（執行）子系統或規模較小的系統可采用樹式結構，社會觀測（信息采集）子系統或規模較大的系統適于采用網式結構。這一結論從以下兩個角度看，也是正確的。

其一，從系統的適應性角度看

由于任何作用(gij)的傳播速度都是有限的，而且都是有成本的，整體系統的構建是通過子系統間的作用gij實現的，所以網絡系統的靈活性、穩定性、調控能力等即適應性與其網絡度ρ相關。而樹式結構社會系統的ρ＝l／N，它與系統規模大小N成反比，網式結構社會系統的ρ＝1，與系統規模基本無關。可見，對于規模較小的系統來說，樹式結構與網式結構的ρ差別不大(N越小ρ越趨近于1)；而系統規模越大，樹式結構的ρ越小，網式結構的ρ卻不變。所以，小系統采取樹式和網式結構均可，而大系統則更適于采用網式結構。

現實情況也是如此，具體企業、家庭、小團體等實行樹式結構并不影響其功能與適應性等性質，而大系統的樹式結構卻有很多弊端，如計劃經濟體制靈活性較差。

其二，從系統的優化機制角度看

樹式子系統的優化(優勝劣汰)機制，可由整體系統層次內子系統間的競爭完成。而整體層次上卻沒有有效、持久的、短時標、高效率的優化競爭機制，所以更適于采用具有適應性的網式結構。

中國現實社會在很大程度上仍是宏觀整體層次——樹式結構(計劃色彩很濃的經濟、文化、政治體制)，微觀個體層次——網式結構(法人經濟主體地位遠未確立，自然人微觀約束較強)，改革開放要實現的社會轉型目標：宏觀上，建設市場經濟、法制國家、民主建設、加入WT0……；微觀上，建立現代企業制度、實行聘任制、鼓勵人才流動……，正是要實現向宏觀網式結構、微觀樹式結構的轉變。

參考文獻

[1]В.Г.巴爾佳斯基，В.А.葉弗來莫維契，《拓撲學奇趣》，北京大學出版社，1987年版。

[2]張本祥、孫博文，《社會科學非線性方法論》，哈爾濱出版社，1997年版第62頁。

[3][比]伊.普里戈金，《從存在到演化》，上海科學技術出版社，1986年版，第83頁。

[4]董連科，《分形理論及其應用》，遼寧科學技術出版社，1991年版，第160頁。