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［摘要］概率論與數理統計是理工科相關專業的一門必修課。針對傳統的教學模式，結合雨課堂采用線上線下結合的教學模式，引入實例到課堂，提高學生學習興趣和積極性，培養大學生利用概率統計思想解決實際問題的能力。

［關鍵詞］雨課堂；線上線下；概率論與數理統計；貝葉斯公式

從2020年2月初開始，全國很多學校在線教學，讓學生居家學習，使互聯網教學遍地開花，從而線上線下教學相結合，使得傳統的課堂得到創新。讓我們看到互聯網進入課堂，改變了我們的教學方法，增加了學生學習的積極性，提高了學習效率。本文以概率論與數理統計為例。

一、概率論與數理統計的教學現狀

傳統的課堂教學都是老師講，學生學，再去做作業。線上線下教學的開展，很多老師打破了傳統的教學方法，重新調整了教學順序，把“先教后學”，改為“先學后教”的教學方法。讓學生先在原有資源或者網站學習，教師PPT和教學資料、試題到雨課堂，學生先去預習，然后教師根據學生情況有針對性地講解，課后再利用線上答疑。概率論與數理統計線上線下教學和大數據實例到課堂在國內還處于積極探索的階段，概率論與數理統計線上線下教學和大數據實例到課堂的課程體系還沒有被充分地重視和發展。文章以概率論與數理統計課程的貝葉斯公式為例進行課程設計。

二、課程設計

（一）做好課前設計和構思

以雨課堂上一節課為例進行設計。

（二）教學過程設計

以貝葉斯公式為例進行課程設計1.引入思政元素我國著名的數學家彭實戈教授在非線性數學期望理論方面做出了巨大貢獻，他建立了動態非線性數學期望理論：g-期望理論。這一期望是研究金融數學的非線性動態定價問題以及動態風險度量問題的重要工具，經常被應用到金融市場中。許寶騄教授在概率論與數理統計這門課程中做出了重要的貢獻，是我國概率論與數理統計的開拓者。在多元分析、參數估計理論、假設檢驗理論等方面許寶騄教授都取得了卓越的成就，成了世界公認的多元統計分析的奠基人之一。通過這些名人事跡，讓學生了解概率論與數理統計課程發展的歷史以及取得的成績。了解我國的數學在歷史中的地位，增強民族自豪感和榮譽感，增加學生的學習興趣。2.貝葉斯定理全概率公式是其中的重要公式，它將對一復雜事件A的概率求解問題，轉化為了在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題。全概率公式是將樣本空間Ω來進行劃分，劃分為某一事件組A1，A2，A3，…，這個A1，A2，A3，…稱為完備事件組，然后來計算某一事件B（B奐Ω）發生的概率；貝葉斯公式正好和全概率公式相反，要求推斷出哪一種原因A1，使產生的B結果的可能性大，即已知某一事件B發生了，求完備事件組中某個事件A1發生的條件概率。貝葉斯公式和證明：設A1，A2，…An為Ω的一個劃分，即A1，A2，…An互不相容，且∪Aii=1n=Ω，若P（B）>0，則對任意的B，則有P（Aj｜B）=P（Aj）P（B｜Aj）ni=1ΣP（Ai）P（B｜Ai），j=1，2，…n證明：由條件概率的定義得，P（Aj｜B）=P（AjB）P（B）上面式子分子用乘法公式，分母用全概率公式，得P（AjB）=P（Aj）P（B｜Aj）P（B）=nj=1ΣP（Aj）P（B｜Aj）得P（Aj｜B）=P（AjB）P（B）=P（Aj）P（B｜Aj）ni=1ΣP（Ai）P（B｜Ai），j=1，2，…n3.通過案例教學，學習貝葉斯公式的應用例1假設在一個喜歡戴口罩的地區，經常戴口罩的人有95%，不經常戴口罩的人5%；在一個不喜歡戴口罩的地區，經常戴口罩的人有5%，不經常戴口罩的人有95%；佩戴口罩被感染的概率為3.1%，不戴口罩時被感染的概率17.4%，已知感染疾病，求沒戴口罩感染的概率哪個地區大？解：①在喜歡戴口罩的地區設用A表示戴口罩，A表示不戴口罩，B表示感染傳染疾病，則P（A）=95%，P（A）=5%，P（B｜A）=3.1%，P（B｜A）=17.4%，P（A｜B）=P（A｜B）P（B）=P（A）P（B｜A）P（A）P（B｜A）+P（A）P（B｜A）=22.8%②在不喜歡戴口罩的地區設用A表示戴口罩，A表示不戴口罩，B表示感染傳染疾病，則P（A）=5%，P（A）=95%，P（B｜A）=3.1%，P（B｜A）=17.4%，P（A｜B）=P（AB）P（B）=P（A）P（B｜A）P（A）P（B｜A）+P（A）P（B｜A）=99.1%（引導學生自己列式）通過計算，在不偏好戴口罩的地區，沒戴口罩被感染的概率為99.1%，在偏好戴口罩的地區，沒戴口罩被感染的概率為22.8%。這個結果從概率角度解釋了戴口罩防護的必要性。所以號召大家戴口罩。選取真實的案例，讓相關專業和實際生活相互聯系，使得學生能學以致用，感受到數學和生活息息相關，同時培養了學生解決實際問題的能力。培養了學生用數學思維分析生活中的相關數據和模型的建立。真正做到學以致用。讓學生自己利用公式分析和解決實際問題，這道題演示完后可以追問學生有什么應用背景？如果答不出，教師可以給予引導，這種師生互動，教師不僅傳授了知識，還學會了應用理論解決實際問題的能力。例2某人欲乘火車、船、汽車、飛機去西安開會，乘火車的概率為0.3，乘船概率為0.2，乘汽車概率為0.1，乘飛機的概率為0.4；但是他乘坐火車、船、汽車、飛機遲到的概率分別為0.25、0.3、0.1和0，但最后他遲到了，試問他乘坐那種交通工具導致他遲到的可能性最大？解：設B表示遲到，A1表示乘坐火車，A2乘船，A3乘汽車，A4乘飛機，由題已知：P（A1）=0.3P（A2）=0.2P（A3）=0.1P（A4）=0.4P（B｜A1）=0.25P（B｜A2）=0.3P（B｜A3）=0.1P（B｜A4）=0.4P（A1｜B）=P（A1B）P（B）=P（A1）P（B｜A1）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=0.3×0.250.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.5P（A2｜B）=P（A2B）P（B）=P（A2）P（B｜A2）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=0.3×0.20.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.4P（A3｜B）=P（A3B）P（B）=P（A3）P（B｜A3）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=0.1×0.10.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.069P（A4｜B）=P（A4B）P（B）=P（A4）P（B｜A4）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=00.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0比較上面的4種結果，推測出他乘火車和船的可能性比較大，但是乘坐汽車的可能性比較小，乘飛機來是幾乎不可能的。貝葉斯公式被廣泛應用到生活中，不只是機械的學習課本上的知識，通過實例用貝葉斯公式解決實際生活中的概率方面的問題，有重要的意義，同時學以致用，將體會到求解概率問題中無窮的樂趣，它將貫穿于我們的整個生活中。

（三）課后的跟蹤

授課結束后，可以根據參加課堂討論、課堂練習、課堂表現來了解學生的在課堂的學習情況，給出課后習題，讓學生進行練習鞏固知識點。課后，學生和老師可以在線上討論知識點和難點，來促進教學效果。總之，如何定位概率論與數理統計傳統教學模式與線上線下教學模式的關系，使二者互為補充，在課堂教學中引入大數據實例，并以微課的形式展現，實現線上線下教學模式的相互結合問題，必將為概率論與數理統計教學改革提供有益的借鑒。

參考文獻：

［1］曹建美，馮晨嬌，王鳳翔.將數學建模思想引入“貝葉斯公式”教學中的案例實施［J］.江蘇科技信息，2020，37（34）：57-59.

［2］賴怡冰.《概率論與數理統計》在線混合式教學的設計與實現［J］.科技風，2021（11）：78-79，98.

［3］包淑華，張健.概率論與數理統計課程應用型教學法研究［J］.山西青年，2021（5）：36-37.

作者:王春茹 鄒佩 王蓉 單位:西安建筑科技大學