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摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)學類以及非數(shù)學類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一。針對大班教學的精細化管理、課下的QQ交流群+課下課中的雨課堂、數(shù)學史以及案例的引入，增強了學生的學習興趣，提高了學生的學習效率；在知識的應(yīng)用中，點燃學習熱情，激發(fā)創(chuàng)新活力。另外在雨課堂的使用中也遇到一些問題，解決的辦法尚在探索中。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計；大班教學；QQ+雨課堂；數(shù)學史；案例

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是理、工、經(jīng)管各專業(yè)重要的基礎(chǔ)課之一。其內(nèi)容豐富，實用性強。它是專門研究和探索客觀世界中隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科，是數(shù)學的一個重要分支，其理論與方法已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事和科學技術(shù)中。在教學的過程中，對大班的管理、交流與互動相當有難度；學習該門課程既要在設(shè)定的數(shù)學程度上堅持嚴謹性，又要兼顧對概念的直觀理解，在一定程度上靈活運用。鑒于該門課的特點以及大班教學中遇到的困難，現(xiàn)提出如下改革舉措。

1概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學改革舉措

1.1大班的精細化管理

工科院校的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程一般都是大班教學，一個大班一般有180人左右。一個教師面對這么多的學生，無論是書面作業(yè)的批改還是一對一的交流，無疑都是困難的。為了解決這個問題，筆者采用精細化管理。1.1.1書面作業(yè)的批改。為了交流、學習的方便，筆者把學生以宿舍為單位分成幾十個學習小組，每個學習小組一般2-4位學生。筆者每次課開始的10min左右，都是對前次課后作業(yè)的反饋、有針對地講解。為了提高大家的注意力、新鮮感和責任感，每位學生都是監(jiān)督員、評判員，手握紅筆對小組其他成員的作業(yè)進行評判。在評判中也增進了相互了解、交流和友誼。一般如果時間充足，每次課會隨機邀請1-2位學生走上講臺跟大家交流，這樣既是對大家課下學習情況的督促和檢查，同時也鍛煉了學生的口頭表達能力，另外，學生的講解，也很容易引起大家的共鳴。為了促進大家認真完成，每章都會收上來一一檢查，根據(jù)作業(yè)的正確率、書寫以及互批改正的落實情況進行分級，作為平時成績評分的依據(jù)之一。1.1.2問題的交流。學生們在學習中不可避免地會遇到各式各樣的問題，為了得到及時的解決，筆者成立了學習互助小組，小組成員可以是好朋友，可以是同宿舍的舍友，當然有時候有的學生能力較強、樂于奉獻，筆者就將需要幫助的學生分給他，結(jié)成對子，大家一起學習進步。這樣大家很團結(jié)，學習熱情也很高。

1.2QQ群+雨課堂

為了加強教師對大班學生的有效管理、溝通與交流，筆者建立了班級QQ群；為了對大班學生學習過程進行量化和監(jiān)督，筆者引入了雨課堂。1.2.1建立班級QQ群。面對180人左右的大班，在QQ群發(fā)資料給大家，無疑是很方便的，學生下載下來，沒有網(wǎng)絡(luò)的時候也可以閱讀。學生有什么問題可以在群里問，有些問題學生們可以相互解答，別的學生也可學習，實現(xiàn)了共享。教師把要討論的問題在群里拋給大家，學生們踴躍討論，在網(wǎng)上討論問題克服了面對面的靦腆，大家暢所欲言很積極。學生們有事情也可以發(fā)私信給教師，能得到教師的及時回復。總之，QQ群讓一個個個體通過某種方式凝聚在一起，教師發(fā)出一個聲音大家無論何時何處都能聽到并及時做出回應(yīng)。QQ群讓大的學習集體有效的溝通、交流不僅成為可能而且成為現(xiàn)實。1.2.2雨課堂。筆者在2017年開始將它用于大班的簽到。以前只能通過點名了解大家的考勤情況，對于一個近200人的大班而言，每次課都點名很難辦到，只能隨機點名，以督促警示大家嚴格要求自己。用雨課堂簽到，方便快捷，可以得到每位學生到課數(shù)據(jù)，包括遲到、曠課，不過目前還不能記錄是否早退。2020年春，一場突如其來的新冠疫情，全民不得不開展在線教育，筆者選擇了雨課堂。雨課堂的彈幕功能，使得教師隨時了解學生的想法，及時調(diào)整教學內(nèi)容，這個互動效果很好，學生們課堂參與的熱情很高。其次筆者每次課后都會制作下次課的課前小測，根據(jù)本次課的內(nèi)容把要掌握的重點、難點、易模糊的概念以及要擴展的知識點通過小測的形式發(fā)給大家，每次小測中還會有一個或兩個下次課要學習的內(nèi)容的題目，以提醒大家預(yù)習準備功課。每次課筆者會根據(jù)雨課堂提供的每個題的正確率來挑選題目進行講解。小測雖然讓大家課下辛苦一些，但是大家的收獲也是滿滿的，所以學生們每次都私信我，很感謝小測這種形式，希望可以沿襲下去，師弟師妹們也可以受益。再就是雨課堂的課件課堂回放功能，這是面授無法比擬的，極大方便了學生們的復習和鞏固。還有為了使得課堂能經(jīng)得起反復回看、推敲、有回看的價值，要求教師在備課的時候要下大功夫，課堂的教學水平盡可能達到所能及的最高。課堂簽到以及小測的提交情況的數(shù)據(jù)都可以由雨課堂提供，學生學習過程的記錄可以作為學生平時成績評分的依據(jù)。總之，雨課堂的簽到、小測、課件回放，方便了教師對大班學生學習過程的了解、記錄，使得學生的學習更加高效，課堂互動更加及時、有針對性。筆者在使用雨課堂時也遇到一些問題，比如學生在雨課堂注冊時，使用的可能不是真實的姓名，或者學號有誤，這些需要筆者一個個去對照，把不合要求的刪除或加入黑名單。再就是小測的題目，少數(shù)學生不知道正確答案，為了應(yīng)付考核而隨意選取答案然后提交，這樣再做題次數(shù)上滿足了要求，但是其并未真正進行思考。對于這種情況，為了盡量避免，系統(tǒng)可對答題時間進行一定的限制，希望雨課堂軟件設(shè)計者能夠?qū)Υ颂剿饔行Ы鉀Q的方法，或是通過與其他雨課堂使用者的交流來解決此類問題。

1.3將數(shù)學史融入課堂

與數(shù)學的其他分支一樣，在公理系統(tǒng)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的概率論更多地依賴于邏輯的正確性，而與實際物理現(xiàn)象的聯(lián)系不是十分緊密。因而不免會有抽象、枯燥的特點。將數(shù)學家的軼聞趣事融入課堂，能增加趣味，活躍課堂氣氛。比如可以談一談給出概率論公理化定義的蘇聯(lián)大數(shù)學家柯爾莫哥洛夫。他小時候就是“別人家的孩子”“百科書般的存在”，興趣廣泛，除了熱愛數(shù)學之外，還喜歡旅行、游泳、詩歌、歷史等。他的研究幾乎遍及數(shù)學的所有領(lǐng)域，如射影幾何、數(shù)理統(tǒng)計、函數(shù)論、拓撲學、逼近論等等，研究數(shù)學的同時，還涉獵古建筑、雕塑、繪畫等人文學科。在長達半個多世紀的學術(shù)生涯里，柯爾莫哥洛夫不斷提出新問題、構(gòu)建新思想、創(chuàng)造新方法，在數(shù)學舞臺上保持著歷久不衰的生命力，這也得益于他健康的體魄。他酷愛體育鍛煉，被人稱作“戶外數(shù)學家”。他的許多奇妙的數(shù)學思想都是在林間漫步、湖中暢游、山坡滑雪時候誕生的。就是這樣一位讓人頂禮膜拜的數(shù)學家，也有讓人匪夷所思的一面。曾經(jīng)在學術(shù)會議上，跟數(shù)學家Luzin意見不合，居然大打出手。實踐證明，課堂中引入數(shù)學史，學生能更好地走近數(shù)學家、理解其數(shù)學思想，進而受到啟發(fā)，豐富自己的知識體系。

1.4引入實際的案例

要讓學生很好地理解某個概念或者公式，教師引入實際的案例，往往能達到很好的效果。比如在講述概率中利用事情發(fā)生的可能性大小做決策時，可以引入如下案例：2000年悉尼奧運會開幕前，氣象學家對兩個開幕候選日“9月10日”和“9月15日”的100年氣象學資料分析發(fā)現(xiàn)，“9月10日”的下雨天數(shù)為86天，“9月15日”的下雨天數(shù)為22天。即“9月10日”和“9月15日”的下雨頻率分別為86%和22%，因此最后決定開幕日定為“9月15日”。另外一個案例為1939年9月英國對德宣戰(zhàn)后，英國為了擺脫德國對潛艇的襲擊，艦船開始以單獨行動為主，以減小目標被暴露的可能性。但經(jīng)過一段實戰(zhàn)的檢驗，這種單獨行動的方式不僅沒能減少損失，反而由于艦船失去了相互掩護，增大了被德國潛艇乘隙而入各個擊破的機會。到了1940年，英國汲取了前一段反潛作戰(zhàn)的教訓，開始廣泛采用小型護航船隊的方式進行活動，這樣一來，德國潛艇不僅越來越難找到單艘商船和軍艦進行襲擊，而且自身還遭受了一定的損失。為此，1940年，上半年英國海上交通出現(xiàn)了一段暫時的寧靜。但是到了下半年，情況又發(fā)生了很大的變化。德國潛艇摸到了英國船隊的活動規(guī)律，調(diào)整了戰(zhàn)法，使英國的小型護航船隊又開始受到德國潛艇群的圍殲。為了擺脫困境，首相丘吉爾招賢覓策，英國的一名數(shù)學家挺身而出，為最終打破德國潛艇封鎖戰(zhàn)提供了一條十分有效的對策。這位數(shù)學家運用概率論的方法，經(jīng)過全面的分析后提出：船隊能否被襲擊，取決于航行中是否與敵相遇，而與敵相遇屬于可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。其規(guī)律是：在同等數(shù)量船只的情況下，編隊的規(guī)模越小，其批次就會越多，而批次越多，航行中與對方潛艇相遇的機會就會越大。反之，相遇的機會就會越小。再者，德國潛艇的數(shù)量與運輸船隊相比總是少數(shù)，它所攜帶的彈藥更是有限。每次相遇戰(zhàn)中，英國運輸船隊被擊沉的船只數(shù)量限于德國潛艇的作戰(zhàn)能力和作戰(zhàn)效果。這就說明，運輸船隊的規(guī)模越大，數(shù)量越多，每艘船只被擊沉的概率就會越小。因而，英國采取了集中航渡和集中護航的方式。實戰(zhàn)檢驗充分證明了這位數(shù)學家提出的概率論法則很有效果。丘吉爾利用科學家打贏了一場海戰(zhàn)，概率論戰(zhàn)勝了潛艇戰(zhàn)，成為世界海戰(zhàn)史上一段美談。自此，大規(guī)模護航船隊的方式成為一條基本戰(zhàn)法沿用至今。實踐表明，引入案例教學，不僅可以調(diào)節(jié)課堂的氛圍，而且有利于學生加深對某概念的理解。

1.5在應(yīng)用中，點燃學習熱情，激發(fā)創(chuàng)新活力

比如講貝葉斯定理時可以簡述它在人工智能中的應(yīng)用。貝葉斯定理源于18世紀英國數(shù)學家托馬斯·貝葉斯生前為解決一個“逆向概率”問題而寫的一篇論文。所謂“逆向概率”，就是說，當不能準確知悉一個事物的本質(zhì)時，可以依靠經(jīng)驗去判斷其本質(zhì)屬性。貝葉斯定理建立在主觀判斷的基礎(chǔ)上，可以先估計一個值，然后根據(jù)客觀事實不斷修正。這個研究看起來平淡無奇，論文直到貝葉斯死后的第二年才由他的一位朋友在1763年發(fā)表。那么貝葉斯定理在人工智能領(lǐng)域又是如何體現(xiàn)它的強大威力的呢？自然語言處理是人工智能諸多應(yīng)用中的一類，即讓計算機代替人來翻譯語言、識別語音、認識文字、進行海量文獻的自動檢索。但是，人類的語言可以說是信息里最復雜最動態(tài)的一部分。人們最初想到的方法是讓計算機學習人類的語法、分析語句等等。可是，幾十年過去了，基于這個語法規(guī)則的方法幾乎毫無突破。率先成功用數(shù)學方法解決自然語言處理的是賈里尼克。他認為語音識別就是根據(jù)接收到的一個信號序列推測說話人實際發(fā)出的信號序列和要表達的意思。基于給定文字出現(xiàn)這條語音的條件概率建立聲學模型；對出現(xiàn)該條文字序列的先驗概率建立語言模型，隨著大量數(shù)據(jù)輸入模型的迭代，貝葉斯定理的威力日益凸顯。語音識別本質(zhì)上就是找到概率最大的文字序列，一旦出現(xiàn)條件概率，貝葉斯定理總能挺身而出。

2結(jié)語

為了解決工科大班教學所遇到的管理、交流的難題，筆者對大班采取精細化管理，并用“QQ群+雨課堂”加以輔助。為了提高學生學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計的興趣和學習效率，筆者將“數(shù)學史”和“實際案例”引入課堂。應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識解決當代的問題，更是體現(xiàn)出這門學科不是空頭理論，這拉近了學生與這門學科的距離，點燃了學生的學習熱情。教學實踐表明，上述方法可以解決大班教學遇到的部分難題，可以提高學生的學習興趣和學習效率，可以激發(fā)學生學以致用、用中謀創(chuàng)的熱情。

作者:王琳 孫琳 單位:廣東工業(yè)大學應(yīng)用數(shù)學學院